核心工具泰勒公式

\(sinx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)

\(arcsinx=x+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)

\(tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)

\(arctanx=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)

\(cosx=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4)\)

\(ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\)

\(e^2=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3)\)

\(\left(1+x\right)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2+o(x^2)\)

\(\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)\)

 

 

 

高数三角函数公式与导数汇总

1. 基本定义与倒数关系

函数 英文 缩写 定义 倒数函数
正弦 sine sin $\sin x=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}$ $\csc x=\frac1{\sin x}$
余弦 cosine cos $\cos x=\frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}$ $\sec x=\frac1{\cos x}$
正切 tangent tan $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ $\cot x=\frac1{\tan x}=\frac{\cos x}{\sin x}$
余切 cotangent cot $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ $\tan x$
正割 secant sec $\sec x=\frac1{\cos x}$ $\cos x$
余割 cosecant csc $\csc x=\frac1{\sin x}$ $\sin x$

2. 基本恒等式

  1. 毕达哥拉斯恒等式

    $$
    \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \quad
    1 + \tan^2 x = \sec^2 x \quad
    1 + \cot^2 x = \csc^2 x.
    $$

  2. 奇偶性

    • $\sin(-x)=-\sin x$ （奇函数）
    • $\cos(-x)=\cos x$ （偶函数）
    • $\tan(-x)=-\tan x$ （奇函数）

  3. 周期性

    • $f(x+2\pi)=f(x)$ 适用于 $\sin\cos\sec\csc$
    • $f(x+\pi)=f(x)$ 适用于 $\tan\cot$

3. 诱导公式

常用角移位

式子 结果
$\sin(\pi\pm x)$ $\pm\sin x$
$\cos(\pi\pm x)$ $-\cos x$
$\sin(\tfrac{\pi}{2}\pm x)$ $\cos x$
$\cos(\tfrac{\pi}{2}\pm x)$ $\mp\sin x$

4. 和差倍角与半角公式

  1. 和差公式

    $$
    \begin{aligned}
    &\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm \cos x\sin y\
    &\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y\
    &\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm \tan y}{1\mp \tan x\tan y}.
    \end{aligned}
    $$

  2. 倍角公式

    $$
    \sin2x=2\sin x\cos x
    \quad
    \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x
    \quad
    \tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x}.
    $$

  3. 半角公式

    $$
    \sin^2\frac x2=\frac{1-\cos x}2
    \quad
    \cos^2\frac x2=\frac{1+\cos x}2
    \quad
    \tan\frac x2=\frac{\sin x}{1+\cos x}=\frac{1-\cos x}{\sin x}.
    $$

5. 合积与积化和差公式

  • 积化和差

    $$
    \sin x\sin y=\tfrac12[\cos(x-y)-\cos(x+y)]
    \quad
    \cos x\cos y=\tfrac12[\cos(x-y)+\cos(x+y)]
    \quad
    \sin x\cos y=\tfrac12[\sin(x+y)+\sin(x-y)].
    $$

  • 和差化积

    $$
    \sin x+\sin y=2\sin\tfrac{x+y}2\cos\tfrac{x-y}2
    \quad
    \cos x-\cos y=-2\sin\tfrac{x+y}2\sin\tfrac{x-y}2.
    $$

6. 欧拉公式

$$
e^{ix}=\cos x + i\sin x
\quad
e^{-ix}=\cos x - i\sin x.
$$

7. 常用角值表

角度 0 $\tfrac{\pi}{6}$ $\tfrac{\pi}{4}$ $\tfrac{\pi}{3}$ $\tfrac{\pi}{2}$ $\pi$
$\sin x$ 0 1/2 $\tfrac{\sqrt2}2$ $\tfrac{\sqrt3}2$ 1 0
$\cos x$ 1 $\tfrac{\sqrt3}2$ $\tfrac{\sqrt2}2$ 1/2 0 -1
$\tan x$ 0 $\tfrac{\sqrt3}3$ 1 $\sqrt3$ — 0

8. 各函数求导

函数 导数
$\sin x$ $\cos x$
$\cos x$ $-\sin x$
$\tan x$ $\sec^2 x$
$\cot x$ $-\csc^2 x$
$\sec x$ $\sec x\tan x$
$\csc x$ $-\csc x\cot x$
$\arcsin x$ $\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos x$ $-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$
$\arctan x$ $\frac1{1+x^2}$
$\text{arccot}x$ $-\frac1{1+x^2}$
$\text{arcsec}x$ $$\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$$
$\text{arccsc}x$ $$-\frac1{x\sqrt{x^2-1}}$$